Question Number 205916 by mathzup last updated on 02/Apr/24
$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:{xln}\left({e}^{{x}} −\mathrm{1}\right) \\ $$
Answered by mathzup last updated on 03/Apr/24
$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:{xln}\left({e}^{{x}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:{x}\left\{{ln}\left({e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)−{lnx}\:+{lnx}\right\} \\ $$$$={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:{xln}\left(\frac{{e}^{{x}} −\mathrm{1}}{{x}}\right)+{xlnx} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:{xln}\left(\frac{{e}^{{x}} −\mathrm{1}}{{x}}\right)=\mathrm{0}.{ln}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:{xlnx}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {xln}\left({e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$
Commented by mathzup last updated on 03/Apr/24
$${another}\:{way}\:{we}\:{do}\:{the}\:{changement} \\ $$$${e}^{{x}} −\mathrm{1}={t}\:\Rightarrow{e}^{{x}} =\mathrm{1}+{t}\:{and}\:{x}={ln}\left(\mathrm{1}+{t}\right) \\ $$$${x}\rightarrow\mathrm{0}\:\Leftrightarrow{t}\rightarrow\mathrm{0}\:{and} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:{xln}\left({e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)={lim}_{{t}\rightarrow\mathrm{0}} \:{ln}\left(\mathrm{1}+{t}\right){lnt} \\ $$$$={lim}_{{t}\rightarrow\mathrm{0}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{t}\right)}{{t}}×{lim}_{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {tlnt} \\ $$$$=\mathrm{1}×\mathrm{0}=\mathrm{0} \\ $$