Question Number 212762 by universe last updated on 23/Oct/24
Commented by MrGaster last updated on 23/Oct/24
$$\mathrm{Rewrite}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integrand}\:\mathrm{function}\:\mathrm{as}: \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{n}\right)=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{n}\right) \\ $$$$\mathrm{Computational}\:\mathrm{integral}: \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \left({x}−\mathrm{1}\right)−\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{n}\right){dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{n}\right){dx} \\ $$$$\mathrm{take}\:\mathrm{notice}\:\mathrm{of},{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{n}\right) \\ $$$$\mathrm{Is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{descending}\:\mathrm{factorial}\:\mathrm{polynomial}.\mathrm{Tayi} \\ $$$${x}=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\ldots{n}\:\mathrm{The}\:\mathrm{value}\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}.\mathrm{So}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{is}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{into}\:\mathrm{two}\:\mathrm{parts}.: \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{n}\right){dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{n}\right){dx}\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{n}\right){dx}+\ldots+\int_{{n}+\mathrm{1}} ^{{n}} \left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{n}\right){dx} \\ $$$$\mathrm{Between}\:\mathrm{each}\:\mathrm{cell}\left[{k},{k}+\mathrm{1}\right],\mathrm{function} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\ldots\left({x}−{k}\right)\left({x}−{k}\right)\left({x}−{k}\right)\left(−\left({k}+\mathrm{1}\right)\right)\ldots\left({x}−{n}\right) \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{sign}\:\mathrm{of}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{absolutel} \\ $$$$\mathrm{vaue}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{extracted}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integralt} \\ $$$$\mathrm{beween}\:\mathrm{each}\:\mathrm{cell}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{calculated}. \\ $$$$\mathrm{because}\left[{k},{k}+\mathrm{1}\right]\mathrm{Symbol}\:\mathrm{invariance}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{written}\:\mathrm{as}: \\ $$$$\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \mid{x}−{k}\mid{x}−\left({k}+\mathrm{1}\right)\mid\ldots\mid{x}−{n}\mid{dx} \\ $$$$\mathrm{Because}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integration}\:\mathrm{result}\:\mathrm{betweenc} \\ $$$$\mathrm{eah}\:\mathrm{cell}\:\mathrm{will}\:\mathrm{contain}\:\mathrm{a}\:\mathrm{factor}\:{k}!\: \\ $$$$\mathrm{When}\:\mathrm{divided}\:\mathrm{by}\:{n}!\:\mathrm{when}\: \\ $$$$\mathrm{These}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{results}\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:\mathrm{eliminatedo} \\ $$$$\mathrm{s}\:\mathrm{the}\:\mathrm{whole}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{result}\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}. \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}×\mathrm{0}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by mathmax last updated on 23/Oct/24
$${p}\left({x}\right)=\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)…..\left({x}−{n}\right){est}\:{un}\:{polynome}\:{de}\:{degren} \\ $$$$\Rightarrow{p}\left({x}\right)={x}^{{n}} +{ax}^{{n}−\mathrm{1}} +{bx}^{{n}−\mathrm{2}} +……+{l}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} {p}\left({x}\right){dx}=\left[\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}+\frac{{ax}^{{n}} }{{n}}+…..+{lx}\right]_{\mathrm{0}} ^{{n}} \\ $$$$=\frac{{n}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}+\frac{{an}^{{n}} }{{n}}+…..+{ln}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} {p}\left({x}\right){dx}=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}\left\{\frac{{n}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}+\frac{{an}^{{n}} }{{n}}+….+{ln}\right\} \\ $$$${et}\:\mid\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} {p}\left({x}\right){dx}\mid\leqslant\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\frac{{n}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}+\mid{a}\mid\frac{{n}^{{n}} }{{n}!{n}} \\ $$$$+…..\mid{l}\mid\frac{{n}}{{n}!}\rightarrow\mathrm{0}\:\left({n}\rightarrow\infty\right) \\ $$$${c}\:{est}\:{la}\:{factorielle}\:{qui}\:{commmande}\:\Rightarrow \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}!}\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)…\left({x}−{n}\right){dx}\:=\mathrm{0} \\ $$