# solve-the-equation-cos-2001-x-sin-2001-1-

Question Number 722 by malwaan1 last updated on 04/Mar/15
$${solve}\:{the}\:{equation}\:{cos}^{\mathrm{2001}} {x}−{sin}^{\mathrm{2001}} =\mathrm{1} \\$$$$\\$$
Commented by malwaan last updated on 04/Mar/15
$${what}\:{about}\:{cos}^{{n}} {x}−{sin}^{{n}} {x}=\mathrm{1}\:\: \\$$
Commented by prakash jain last updated on 04/Mar/15
$$\mathrm{You}\:\mathrm{will}\:\mathrm{get}\:\mathrm{many}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{including} \\$$$$\mathrm{complex}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{and}\:\mathrm{each}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:\mathrm{periodic} \\$$$$\mathrm{with}\:\mathrm{period}\:\mathrm{2}\pi\:\mathrm{when}\:{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}\:\mathrm{and}\:\mathrm{with}\:\mathrm{period} \\$$$$\pi\:\mathrm{when}\:{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}. \\$$$$\mathrm{One}\:\mathrm{obvious}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{when}\:\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{1},\:\mathrm{sin}\:{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{is}: \\$$$${x}=\mathrm{2}\pi{k},\:{k}\in\mathbb{Z}\:\mathrm{when}\:{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd} \\$$$${x}=\pi{k},\:{k}\in\mathbb{Z}\:\mathrm{when}\:{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even} \\$$
Answered by prakash jain last updated on 05/Mar/15
$${y}={e}^{{ix}} \\$$$$\mathrm{cos}\:{x}=\frac{{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}{y}} \\$$$$\mathrm{sin}\:{x}=\frac{{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}{iy}} \\$$$$\mathrm{cos}^{{n}} {x}−\mathrm{sin}^{{n}} {x}=\mathrm{1} \\$$$$\left(\frac{{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}{y}}\right)^{{n}} −\left(\frac{{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}{iy}}\right)^{{n}} =\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{This}\:\mathrm{given}\:\mathrm{an}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{which}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to} \\$$$$\mathrm{be}\:\mathrm{solved}\:\mathrm{in}\:{y}.\:\mathrm{Then}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{find}\:{x}. \\$$
Commented by malwaan last updated on 04/Mar/15
$${Is}\:{there}\:{simple}\:{solution}\:{when}\:{n}=\mathrm{2001}\: \\$$
Commented by prakash jain last updated on 04/Mar/15
$$\mathrm{Two}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{cases}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{considered}\:\mathrm{for} \\$$$${n}=\mathrm{2001}. \\$$$$\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{1},\:\mathrm{sin}\:{x}=\mathrm{0}\Rightarrow{x}=\mathrm{2}\pi{k},\:{k}\in\mathbb{Z} \\$$$$\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{0},\:\mathrm{sin}\:{x}=−\mathrm{1}\Rightarrow{x}=\mathrm{2}\pi{k}−\frac{\pi}{\mathrm{2}},\:{k}\in\mathbb{Z} \\$$$$\mathrm{I}\:\mathrm{will}\:\mathrm{see}\:\mathrm{if}\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{any}\:\mathrm{other}\:\mathrm{way}\:\mathrm{to} \\$$$$\mathrm{get}\:\mathrm{all}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{for}\:{n}=\mathrm{2001}. \\$$