Question Number 3001 by Filup last updated on 02/Dec/15
$$\mathrm{Can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{evaluate}: \\ $$$${S}=\underset{{i}={k}} {\overset{{n}} {\sum}}\:^{{n}} {C}_{{i}} \\ $$
Commented by Rasheed Soomro last updated on 02/Dec/15
$${S}=\underset{{i}={k}} {\overset{{n}} {\sum}}\:^{{n}} {C}_{{i}} \\ $$$$\:\:\:\:=^{{n}} {C}_{{k}} +^{{n}} {C}_{{k}+\mathrm{1}} +^{{n}} {C}_{{k}+\mathrm{2}} +…+^{{n}} {C}_{{n}} \\ $$$$=\frac{{n}!}{{k}!\left({n}−{k}\right)!}+\frac{{n}!}{\left({k}+\mathrm{1}\right)!\left({n}−{k}−\mathrm{1}\right)!}+\frac{{n}!}{\left({k}+\mathrm{2}\right)!\left({n}−{k}−\mathrm{2}\right)!}+…+\frac{{n}!}{{n}!\left({n}−{n}\right)!} \\ $$
Answered by Yozzi last updated on 02/Dec/15
$${S}=\underset{{i}={k}} {\overset{{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}\:\: \\ $$$${S}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}−\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{k}−\mathrm{1}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix} \\ $$$${Now},\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)^{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}\:\mathrm{1}^{{n}−{i}} \mathrm{1}^{{i}} \\ $$$$\therefore\:\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}=\mathrm{2}^{{n}} \: \\ $$$$\therefore\:{S}=\mathrm{2}^{{n}} −\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{k}−\mathrm{1}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix} \\ $$$${k}\leqslant{n}\Rightarrow{k}−\mathrm{1}\leqslant{n}−\mathrm{1}. \\ $$$${There}\:{is}\:{then}\:{the}\:{possibility}\:{that}\: \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{k}−\mathrm{1}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}−\begin{pmatrix}{{n}}\\{{n}}\end{pmatrix}=\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1} \\ $$$${or}\:\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{k}−\mathrm{1}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}=\mathrm{2}^{{n}} −\begin{pmatrix}{{n}}\\{{n}}\end{pmatrix}−\begin{pmatrix}{{n}}\\{{n}−\mathrm{1}}\end{pmatrix}=\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}−{n} \\ $$$${or}\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{k}−\mathrm{1}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{2}} {\sum}}\begin{pmatrix}{{n}}\\{{i}}\end{pmatrix}=\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}−{n}−\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}!} \\ $$$${or}….\:{down}\:{to}\:{when}\:{k}=\mathrm{1}. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$